Logaritmos y Exponenciales en otras bases

exponencial en base a: Exp_a(x)

hasta aqui hemos presentado a las funciones logaritmo y exponencial en la base natural e; ahora consideraremos otras bases, pero siempre positivas.

como para a>0 y para todo x ε R

a^x=e^x.lna

se define a>0 la funcion exponencial en base a, denotada por "Exp_a(x)" como:

exp_a(x)= a^x = e^x.lna = exp(xlna)

dominio(exp)= ‹-∞,∞›;rango (exp)=‹0,∞› 
A esta función también se le llama el Anti logaritmo en Base a: antilog_a(x)

Características

1.    A⁰=e^0lna=e⁰=1

2.    A¹=e^1lna=e¹=a

3.    D_x(a^x)=D_xe^xna=e^xlna.lna=a^xlna

D_x(a^x) = a^xlna

4.    Si 0<a<1         lna<0

lim a^x    = lim e^xlna =0

x→ ∞        x→ ∞

lim a^x   = lim e^xlna =∞

x→ -∞        x→- ∞

D_x(a^x)= a^xlna<0                              pues 0<a<1

D²_x(a^x)= a^x(lna)² <0                       →

Y= a^x es decreciente y cóncava hacia arriba

Para 0<a<1:

X₁ < x₂ → a^x1 > a^x2  

5.    Si a>1: lna>0

lim a^x    = lim e^xlna =∞

x→ ∞        x→ ∞

lim a^x   = lim e^xlna =0

x→ -∞        x→- ∞

D_x(a^x)= a^xlna>0                              pues a>1

D²_x(a^x)= a^x(lna)² >0                       →

Y= a^x es creciente y cóncava hacia arriba

Para a>1:

X₁ < x₂ → a^x1 < a^x2  

Graficas:

6.    D_xa^f(x) = a^f(x) .lna.f´(x)

Utilice la regla de la cadena

7.      ∫a^x .dx= a^x/lna

8.      ∫a^f(x) .f´(x)dx= a^f(x)/lna

J. Armando Venero B.,Analisis Matematico 2